标准偏差-02年世界杯中国-西班牙世界杯_中国足球世界杯预选赛

标准偏差

2024-07-06

关于均方差或均方误差（MSE），请见“均方误差”。

关于均方根误差（RMSE），请见“均方根误差”。

提示：此条目的主题不是标准误差。

图中红蓝两组数据平均值相同，但标准差不同。红色数据的标准差较蓝色数据的标准差要小。

标准偏差[1][2]（standard deviation，std dev，SD）又称标准差[3][4]、中误差[5]，在统计学中，是衡量一组变量值相对于其算术平均值（期望）变异程度（离散程度）的指标[6]。标准差越小（低），表示这些变量值越倾向于聚集在数据集的算术平均值（也视作期望）附近；反之，标准差越大（高），则意味着这些变量值分布得越分散。

标准差通常用于界定哪些数据属于异常值（离群值），而哪些不属于异常值。在数学文本和方程式中，通常用小写希腊字母 σ 表示总体标准差（population SD），用小写拉丁字母 s 表示样本标准差（sample SD）。在实际研究中，我们通常无法获取总体所有数据，因此会抽取样本来推断总体，借由样本的变异度来推估计总体的变异度。

在概率统计中，标准差最常作为评估一组数值的离散程度之用。标准偏差（标准差）的操作型定义为：

一群数值与其算术平均数之差异的平方，再取算术平均数，此时得变异数（variance，σ2，s2）又称方差，最后取二次方根；即“方差开算术平方根”。

标准差可反映组内个体间的离散程度，也可表示内部符合精度，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。标准差与期望之比为标准离差率。

标准差具有两种性质：

为非负数值（因为平方后再做平方根）；

与测量资料具有相同单位（这样才能比对）。

一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。标准差的概念由卡尔·皮尔逊引入到统计中。

阐述及应用[编辑]

在随机分布中的离均差

简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

表述“相差

{\displaystyle k}

个标准差”，即在

{\displaystyle {\overline {X}}\pm kS}

的样本（sample）范围内考量。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。

总体的标准差[编辑]

基本定义[编辑]

∑

(

−

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}

{\displaystyle \mu }

为平均值。

总体为随机变量[编辑]

一随机变量

{\displaystyle X}

的标准差定义为：

⁡

(

−

⁡

(

)

⁡

(

)

−

(

⁡

(

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}}

须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望。

如果随机变量

{\displaystyle X}

为

⋯

{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}

具有相同概率，则可用上述公式计算标准差。

离散随机变量的标准差[编辑]

若

{\displaystyle X}

是由实数

{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}

构成的离散随机变量（英语：discrete random variable），且每个值的概率相等，则

{\displaystyle X}

的标准差定义为：

[

(

−

)

(

−

)

⋯

(

−

)

]

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}}}

，其中

(

⋯

)

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})}

换成用

∑

{\displaystyle \sum }

来写，就成为：

∑

(

−

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}

，其中

(

⋯

)

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})}

目前为止，与总体标准差的基本公式一致。

然而若每个

{\displaystyle x_{i}}

可以有不同概率

{\displaystyle p_{i}}

，则

{\displaystyle X}

的标准差定义为：

∑

(

−

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}}

，其中

∑

{\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}

这里，

{\displaystyle \mu }

为

{\displaystyle X}

的数学期望。

连续随机变量的标准差[编辑]

若

{\displaystyle X}

为概率密度

(

)

{\displaystyle p(X)}

的连续随机变量（英语：continuous random variable），则

{\displaystyle X}

的标准差定义为：

∫

(

−

)

(

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx}}}

其中

{\displaystyle \mu }

为

{\displaystyle X}

的数学期望：

∫

(

)

{\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx}

标准差的特殊性质[编辑]

对于常数

{\displaystyle c}

和随机变量

{\displaystyle X}

和

{\displaystyle Y}

：

(

)

(

)

{\displaystyle \sigma (X+c)=\sigma (X)}

(

)

⋅

(

)

{\displaystyle \sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)}

(

)

(

)

(

)

⋅

cov

(

)

{\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)+2\cdot {\mbox{cov}}(X,Y)}}}

其中：

cov

(

)

{\displaystyle {\mbox{cov}}(X,Y)}

表示随机变量

{\displaystyle X}

和

{\displaystyle Y}

的协方差。

(

)

{\displaystyle \sigma ^{2}(X)}

表示

[

(

)

]

{\displaystyle [\sigma (X)]^{2}}

，即

(

)

{\displaystyle Var(X)}

（

{\displaystyle X}

的方差），对

{\displaystyle Y}

亦同。

样本的标准差[编辑]

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差并不实际。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

从一大组数值

⋯

{\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}}

当中取出一样本数值组合

⋯

{\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}:n

，常定义其样本标准差：

−

∑

(

−

)

{\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}

样本方差

{\displaystyle s^{2}}

是对总体方差

{\displaystyle \sigma ^{2}}

的无偏估计。之所以

{\displaystyle s}

中的分母要用

−

{\displaystyle n-1}

而不是像总体样本差那样用

{\displaystyle n}

，是因为

(

−

)

{\displaystyle \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)}

的自由度为

−

{\displaystyle n-1}

，这是由于存在约束条件

∑

(

−

)

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}

。

范例[编辑]

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{5, 6, 8, 9}：

第一步，计算平均值

{\displaystyle {\overline {x}}}

︰

∑

{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}

当

{\displaystyle {\begin{smallmatrix}N=4\end{smallmatrix}}}

（因为集合里有4个数），分别设为：

{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5,\\x_{2}&=6,\\x_{3}&=8,\\x_{4}&=9,\end{aligned}}}

则平均值为

∑

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}}

第二步，计算标准差

{\displaystyle \sigma \,}

︰

∑

(

−

)

∑

(

−

)

(

)

∑

(

−

)

(

)

[

(

−

)

(

−

)

(

−

)

(

−

)

]

[

(

−

)

(

−

)

(

−

)

(

−

)

]

(

−

)

(

−

)

(

)

≈

1.58114

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}}

正态分布的规则[编辑]

主条目：正态分布

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围，在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%；两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%；三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为99.7%。

在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。

(

;

)

−

(

−

)

{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}

Proportion

erf

⁡

(

)

{\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}

Proportion

≤

[

erf

⁡

(

−

)

]

[

erf

⁡

(

)

]

{\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}

.[7]

Percentage within(z)

z(Percentage within)

数字比率标准差值

概率

包含之外比例

百分比

比例

0.318 639σ

25%

75%

3 / 4

6999674490000000000♠0.674490σ

7001500000000000000♠50%

1 / 7000200000000000000♠2

6999994458000000000♠0.994458σ

68%

32%

1 / 3.125

1σ

7001682689492000000♠68.2689492%

7001317310508000000♠31.7310508%

1 / 7000315148720000000♠3.1514872

7000128155200000000♠1.281552σ

80%

20%

1 / 5

7000164485400000000♠1.644854σ

90%

10%

1 / 10

7000195996400000000♠1.959964σ

95%

1 / 20

2σ

7001954499736000000♠95.4499736%

7000455002640000000♠4.5500264%

1 / 7001219778950000000♠21.977895

7000257582900000000♠2.575829σ

99%

1 / 100

3σ

7001997300204000000♠99.7300204%

6999269979600000000♠0.2699796%

1 / 370.398

7000329052700000000♠3.290527σ

99.9%

0.1%

1 / 7003100000000000000♠1000

7000389059200000000♠3.890592σ

99.99%

0.01%

1 / 7004100000000000000♠10000

4σ

7001999936660000000♠99.993666%

6997633400000000000♠0.006334%

1 / 7004157870000000000♠15787

7000441717300000000♠4.417173σ

99.999%

0.001%

1 / 7005100000000000000♠100000

7000450000000000000♠4.5σ

99.9993204653751%

0.0006795346249%

1 / 7005147159535800000♠147159.53583.4 / 7006100000000000000♠1000000 (每一边)

7000489163800000000♠4.891638σ

7001999999000000000♠99.9999%

6996100000000000000♠0.0001%

1 / 7006100000000000000♠1000000

5σ

7001999999426697000♠99.9999426697%

6995573303000000000♠0.0000573303%

1 / 7006174427800000000♠1744278

7000532672399999999♠5.326724σ

7001999999900000000♠99.99999%

6995100000000000000♠0.00001%

1 / 7007100000000000000♠10000000

7000573072900000000♠5.730729σ

7001999999990000000♠99.999999%

6994100000000000000♠0.000001%

1 / 7008100000000000000♠100000000

7000600000000000000♠6σ

7001999999998027000♠99.9999998027%

6993197300000000000♠0.0000001973%

1 / 7008506797346000000♠506797346

7000610941000000000♠6.109410σ

7001999999999000000♠99.9999999%

6993100000000000000♠0.0000001%

1 / 7009100000000000000♠1000000000

7000646695100000000♠6.466951σ

7001999999999900000♠99.99999999%

6992100000000000000♠0.00000001%

1 / 7010100000000000000♠10000000000

7000680650200000000♠6.806502σ

7001999999999990000♠99.999999999%

6991100000000000000♠0.000000001%

1 / 7011100000000000000♠100000000000

7σ

99.9999999997440%

6990256000000000000♠0.000000000256%

1 / 7011390682215445000♠390682215445

标准差与平均值之间的关系[编辑]

一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说，如果用平均值来考量数值的中心的话，则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为：设

⋯

{\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}}

为实数，定义函数：

(

)

∑

(

−

)

{\displaystyle \sigma (\mu )={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}

使用微积分或者通过配方法，不难算出

(

)

{\displaystyle \sigma (\mu )}

在下面情况下具有唯一最小值：

{\displaystyle \mu ={\overline {x}}}

几何学解释[编辑]

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从

{\displaystyle n}

维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}

。它们可以在3维空间中确定一个点

(

)

{\displaystyle P=(X_{1},X_{2},X_{3})}

。想像一条通过原点的直线

(

)

∈

{\displaystyle L={(r,r,r):r\in \mathbb {R} }}

。如果这组数据中的3个值都相等，则点

{\displaystyle P}

就是直线

{\displaystyle L}

上的一个点，

{\displaystyle P}

到

{\displaystyle L}

的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点

{\displaystyle P}

作垂线

{\displaystyle PR}

垂直于

{\displaystyle L}

，

{\displaystyle PR}

交

{\displaystyle L}

于点

{\displaystyle R}

，则

{\displaystyle R}

的坐标为这3个值的平均数：

(

)

{\displaystyle R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})}

运用一些代数知识，不难发现点

{\displaystyle P}

与点

{\displaystyle R}

之间的距离（也就是点

{\displaystyle P}

到直线

{\displaystyle L}

的距离）是

{\displaystyle \sigma {\sqrt {3}}}

。在

{\displaystyle n}

维空间中，这个规律同样适用，把

{\displaystyle 3}

换成

{\displaystyle n}

就可以了。

参考文献[编辑]

^ 標準偏差. 乐词网. 国家教育研究院（中文（台湾））.

^ 标准偏差. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）

^ 標準差；標準偏差. 乐词网. 国家教育研究院（中文（台湾））.

^ 标准差. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）

^ 中误差. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会. （简体中文）

^ Bland, J.M.; Altman, D.G. Statistics notes: measurement error. BMJ. 1996, 312 (7047): 1654. PMC 2351401 . PMID 8664723. doi:10.1136/bmj.312.7047.1654.

^ Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. [2014-09-30]. （原始内容存档于2021-04-02）.

外部链接[编辑]

Standard Deviation Calculator，标准差计算器（英文）

查论编概率分布的理论

概率质量函数(pmf)

概率密度函数(pdf)

累积分布函数(cdf)

分位函数

矩

中心矩

期望

方差

标准差

偏度

峰度

矩生成函数(mgf)

特征函数

概率生成函数(pgf)

累积量

查论编统计学描述统计学连续概率集中趋势

平均数

平方

算术

几何

调和

算术-几何

几何-调和

希罗／平均数不等式

中位数

众数

离散程度

全距

变异系数

百分位数

四分位距

四分位数

标准差

方差

平均差

标准分数

切比雪夫不等式

基尼系数

分布形态（英语：Shape of the distribution）

中心极限定理

矩

偏态

峰态

离散概率

次数（英语：Count data）

列联表

推论统计学和假设检验推论统计学

置信区间

区间估计

显著性差异

元分析

贝叶斯推断

实验设计

总体

抽样

重抽样

刀切法

自助法

交叉验证

重复（英语：Replication (statistics)）

区集（英语：Blocking (statistics)）

灵敏度和特异度

缺失数据

样本量（英语：Sample size）

标准误

零假设

备择假设

第一类错误与第二类错误

统计功效

效应值

常规估计

贝叶斯推断

区间估计

最大似然估计

最小距离估计（英语：Minimum distance estimation）

矩估计

最大间距

假设检验

Z检验

学生t检验

F检验

卡方检验

Wald检验（英语：Wald test）

曼-惠特尼检验（英语：Mann–Whitney U test）

秩和检验

生存分析

生存函数

乘积极限估计量

对数秩和检验

失效率

危险比例模式

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